Travaux Pratiques: Isométries par morceaux

Introduction

Définition

Un système dynamique est donné par un ensemble \(X\), et une fonction \(T\) de \(X\) sur \(X\) que l’on itère.

L’orbite d’un point \(m\) de \(X\) est la suite \((T^n(m))_{n\in\NN}\).

Un point \(m\) est périodique si son orbite l’est (ou si elle est ultimement périodique?)

Questions typiques:

  • Répartition d’une orbite dans \(X\)
  • Existence de points périodiques?

Cas particuliers:

  • topologique: \(X\) compact, \(T\): continu

  • mesurable: \(X\) équipé d’une mesure \(\mu\) préservée par \(T\):

    \(\mu (T^{-1}(A)) = \mu(A)\) pour tout \(A\) mesurable

Questions typiques:

  • La suite ... est-elle dense dans \(X\)?

Isométries par morceaux

Définition

\(T\) est une isométrie par morceaux si \(X=\RR^k\) et si \(T\) est une isométrie au voisinage de tout point \(m\)

Exemple

\(T: \RR^2 \mapsto \RR^2\) tel que \(T(z)\) vaut:

  • \(i(z-z_0)+z_0-1\) si \(-1<Im(z)<0, Re(z)<0\)
  • \(z-i+1\) si \(Im(z)<-1, Re(z)<0\)
  • \(z\) si \(Im(z)>0\)

On s’intéresse principalement au cadrant sud-ouest.

On ignore les points où \(T\) est non définie (mesure nulle)

Todo

figure

Codage de l’application

Supposons que \(T\) est définie sur un nombre fini de morceaux \((P_i)_{i=1,\dots,k}\). Notons \(A\) l’alphabet \(\{1,\dots,k\}\).

Codage de \(T\): \(\Phi:\quad X\mapsto A^*,\quad m \mapsto (u_n)_{n\in \NN}\) telle que \(u_n=i\) si et seulement si \(T^n(m) \in P_i\).

Avec l’exemple précédent de \(\Phi(z_1)=1,2,1,2,1,2\).

Objectif: décrire la dynamique en étudiant les mots qui codent l’ensemble.

On a un diagramme commutatif: \(S\circ \Phi = \Phi\circ T\), où \(S\) est le shift sur les mots.

Définition

Le langage de l’isométrie est l’ensemble des facteurs finis des codes de points de \(X\).

Exercice

  1. Implanter la fonction \(T\) de l’exemple précédent dans Sage.

  2. Implanter une fonction morceau(m) qui renvoie le morceau \(P_i\) où se trouve le point \(m\) (plus précisément l’indice \(i\) de ce morceau).

  3. Implanter une fonction code(T,m,n) qui renvoie le préfixe de longueur \(n\) du code de \(m\) par \(T\).

  4. Implanter une fonction code(T,m) qui renvoie le code de \(m\) par \(T\).

    Indication: on construira un mot infini avec Word(), en passant en paramètre:

    • Soit une fonction f(T,m,n) qui renvoie le morceau \(P_i\) où se trouve \(T^m(n)\) (un peu plus simple).
    • Soit un itérateur qui renvoie successivement le morceau \(P_i\) où se trouve \(T^m(n)\), pour \(n=0,1,2,...\) (plus efficace; pourquoi?).
  5. Implanter une fonction dessine_trajectoire(T,m,n) qui dessine les \(n\) premiers points de l’orbite de \(m\) sous \(T\).

    Indication: voir point()

    Rajouter les frontières des morceaux \(P_i\).

  6. Implanter un interact avec deux curseurs continus (sliders) pour \(x\) et \(y\) qui dessine l’orbite du point \(m\) de coordonnées \(x\) et \(y\), tout en affichant le code de \(m\).

Proposition

\(112\) n’appartient pas au langage.

Comment traiter systématiquement ce type de questions?

Définition

La cellule de \(v=v_0,\dots,v_{n-1}\) est l’ensemble des points de \(X\) dont le code commence par \(v_0,\dots,v_{n-1}\):

\[\sigma_v = \bigcap_{i=0}^{n-1} T^{-i} P_{v_i}\]

Exemple

La cellule de \((1,1)\) est le carré \([-1,0]^2\).

La cellule de \((1,1,2)\) est vide: on calcule l’image par \(T^2\) de \(\sigma_{1,1}\) et on constate qu’elle n’appartient pas à \(P_2\).

Exercice

Implanter une fonction cellule(T,v) qui calcule la cellule du mot \(v\) sous \(T\).

Implanter l’application réciproque de \(T\).

Proposition

Soit \(L_T\) le langage d’une isométrie par morceaux, et \(L_n\) l’ensemble des mots de longueurs \(n\) de \(L_T\).

Alors \(X\) est la réunion des \(\sigma_v\) pour \(v\) dans \(L_n\).

Définition: Application de premier retour

Soit \(Y\) un sous-ensemble de \(X\).

Soit \(x\in Y\); le temps de premier retour de \(x\) est le plus petit \(M_x:=k>0\) tel que \(T^{k(x)}\in Y\).

L’application de premier retour sur \(Y\) est la fonction de \(Y\) dans \(Y\) définie par \(T_Y(x) := T^{M_x}(x)\).

Note

Si \(X\) est compact, \(T_Y\) est défini via le théorème de récurrence de Poincaré (l’ensemble des éléments de temps de retour nul est de mesure nulle).

Les applications \(T\) et \(T_Y\) sont conjugées par une bijection \(h\) qui

Todo

finir la phrase ...

Il existe une renormalisation pour \(T\). C’est par cette renormalisation que l’on peut décrire complètement le langage de \(T\) et \(T_Y\).

Exercice: échange d’intervales

On coupe l’intervalle \([0,1]\) en trois intervalles consécutifs \(A,B,C\) (par exemple en coupant en \(3/5\) et \(4/5\).

On défini l’application \(S:[0,1]\mapsto [0,1]\) qui échange les intervalle \(A,B,C\) en les translatant chacun de sorte que leurs images soient dans l’ordre \(S(C),S(B),S(A)\).

  1. Dessiner la partition par les cellules des mots de longueur \(2\) puis \(3\) puis \(4\).
  2. Décrire l’orbite d’un point.

Exercice

On considère l’isométrie par morceaux définie par la rotation par morceaux d’angle \(\pi/4\):

\[\begin{split}Tz = \begin{cases} e^{i\pi/4}(z+1)\quad Im(z)>0\\ e^{i\pi/4}(z-1)\quad Im(z)<0 \end{cases}\end{split}\]
  1. Calculer l’orbite d’un point sous \(T\).
  2. Dessiner la partition associée à l’application \(T^n\).
  3. Coder l’orbite d’un point sous cette application en codant par \(0\) sur le demi plan supérieur et \(1\) sur le demi plan inférieur.
    • Induire l’application sur un cône d’angle \(\pi/4\) centré en - 1.
    • Recommencer avec \(\pi/7\).

Exercice

Soit \(A=[0,1]^2\) et \(B=[1,1+a]*[0,1]\), où \(a\) est un paramètre réel positif. On considère l’application définie sur \(A\cup B\) par

\[\begin{split}T(x,y)= \begin{cases} (1+a-y,x) &amp; (x,y)\in A\\ (x-1,1-y) &amp; (x,y)\in B \end{cases}\end{split}\]
  1. Pour \(a\) rationnel, décrire la partition à l’étape \(n\).

  2. Comprendre la dynamique dans ce cas.

  3. Étudier le cas \(a=\frac{\sqrt{2}}{2}\).

    Indication: Induire sur un rectangle bien choisi.

Exercice: dynamique en dimension \(1\)

On considère la rotation d’angle \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) donnée par \(x\mapsto x+\frac{\sqrt{2}}{2}\quad mod 1\).

  1. Écrire une fonction qui dessine l’orbite d’un point.
  2. Écrire une fonction qui donne le codage des \(n\) premiers termes de l’orbite d’un point.
  3. Comparer les orbites de deux points différents.

Définition

La complexité d’une isométrie par morceaux est la complexité du langage associé.

Note

Remarques

  • Lorsque \(n\) augmente, le découpage en cellules est de plus en plus fin.
  • Soit \(v\) un mot du langage de longueur \(n\). Il se prolonge en \(k\) mots, où \(k\) est le nombre de régions de \(T\) intersectant non trivialement (intérieur non vide) l’image \(T^n(\sigma_v)\) de la cellule de \(v\).
  • En particulier, si l’intérieur de l’image d’une cellule ne contient aucune frontière de régions de \(T\), alors le mot correspondant se prolonge de manière unique dans le langage.
  • Si c’est le cas pour toutes les cellules, alors \(T\) agit par permutation des images des cellules, et la complexité pour \(n+1\) est exactement celle pour \(n\).

Échange d’intervalles

Définition

On considère un intervalle compact découpé en un nombre fini d’intervalles. Un échange d’intervalles est une bijection de cet intervalle dans lui même dont la restriction à chaque sous intervalle est une translation.

Exercice: première rotation

On considère l’intervalle \([0,1]\) découpé en deux sous intervalles au point \(4/5\).

  1. Écrire une fonction qui donne l’application de premier retour sur un sous intervalle.
  2. Appliquer avec les intervalles \([0,1/2]\) puis \([0,4/5]\).

Exemple: rotations

Considérons un échange d’intervalle \(T\) avec deux intervales \(]0,\alpha[\) et \(]\alpha,1[\). On l’appelle rotation d’angle \(\alpha\) (identifier \([0,1]\) avec le cercle unité).

La complexité est alors:

  • Bornée si \(\alpha\) est rationnel: à chaque étape, l’image d’au plus une cellule sera coupée en deux par la frontière \(\alpha\); si à une étape aucune cellule n’est coupée, alors \(T\) agit par permutation des cellules au cran suivant, et donc à tous les crans suivants.

    Le langage est alors le langage d’un mot périodique.

  • \(n+1\) si \(\alpha\) est irrationnel: l’image d’exactement une cellule sera coupée en deux par la frontière \(\alpha\).

    Le langage est alors le langage d’un mot Sturmien .

Échanges d’intervalles IDOC

Remarque

Une rotation est IDOC si et seulement si \(\alpha\) est irrationnel.

Théorème

Pour un échange de \(l\) intervalles IDOC, la complexité de l’échange d’intervalles vaut \(p(n)= (l-1) n+1\).

Définition

Un système dynamique est dit minimal si tout point a une orbite dense.

Exercice

On considère un échange de trois intervalles de permutation \(\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}\) et de longueurs \((\frac{\sqrt{2}}{10},\frac{\sqrt{2}}{5}, 1-\frac{3\sqrt{2}}{10})\).

  1. Implanter un interact qui permet de tracer les \(n\) premiers points de l’orbite d’un point sous cet échange d’intervalles.
  2. Cet échange est il minimal ?

Premier retour pour un échange d’intervales

Exemple rotation de paramètre \(\alpha=2/3\)

L’application de premier retour induite sur l’intervalle \([0,2/3]\) est une rotation. Elle est bien induite, car on reste dans la classe des rotations.

Par contre, si on prend l’intervalle \([0,2/3]\). C’est mauvais car on sort de la classe des rotations.

Principe: on se donne une classe de systèmes dynamiques; les bons intervales sont ceux pour lesquels l’induction reste dans la classe.

Exercice

On considère à nouveau l’échange de trois intervalles de permutation \(\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}\) et de longueurs \((\frac{\sqrt{2}}{10},\frac{\sqrt{2}}{5}, 1-\frac{3\sqrt{2}}{10})\).

  1. Implanter l’application de premier retour sur l’intervalle \([0,1-\frac{3\sqrt{2}}{10}\).
  2. Recommencer avec l’intervalle \([0,\frac{3\sqrt{2}}{10}\).
  3. Quelle est la meilleure des deux inductions?

Graphe de Rauzy

C’est un moyen de décrire le langage d’un système dynamique.

Définition

Graphe de Rauzy d’ordre \(n\) d’un échange d’intervalle:

  • Sommets: tous les mots de longueur \(n\)
  • Arêtes: \(u\rightarrow v\) si \(u\) se prolonge en un mot de suffixe \(v\). Autrement dit, il existe \(x\) et \(y\) tels que \(ux = yv\).

Remarques

  • C’est l’analogue du graphe de DeBruijn pour les mots de longueur \(n\) de \(A^*\).
  • Le nombre d’arêtes au cran \(n\) donne le nombre de sommets au cran \(n+\).
  • La complexité est bornée si et seulement si le graphe de Rauzy est constant à partir d’un certain rang. Il est alors composé d’une union de cycles; c’est le graphe de la permutation des (images) des cellules induite par \(T\).

Exercice

On considère la rotation d’angle \(\\frac{\sqrt{2}}{2}\).

  1. Implanter le codage d’un point sous l’action de la rotation.
  2. Vérifier que cette rotation est minimale.
  3. Tracer les graphes de Rauzy correspondant aux mots de longueur \(1,2,3,4\).

Billard polygonal

Exercice

Implanter un “interact” permettant de jouer au billard sur un polygone convexe (par exemple un rectangle) en choisisant un angle de tir et en affichant la trajectoire, le mot, ...

Billard dual / Isométries par morceaux

Définition.

On considère un polygone convexe du plan muni d’une orientation. Le billard dual est une isométrie par morceaux bijective définie en dehors du polygone qui est localement une symétrie centrale par rapport à un sommet. A partir d’un point on choisit le sommet le plus proche suivant l’orientation.

Exercice

  1. Implanter le billard dual autour du carré.
  2. Dessiner la partition associée aux cellules des mots de longueur \(n\).
  3. Recommencer pour un polygone régulier à \(5,6,7\) sommets.

Translation d’intervalles