Demonstration: Modeling mathematics

Dans la tradition d’Axiom, MuPAD ou Magma, voire poussant le bouchon, Sage privilégie chaque fois que possible la modélisation explicite de la structure algébrique dans laquelle on souhaite mener le calcul.

Par exemple, Sage connaît les structures algébriques usuelles:

sage: NN
Non negative integer semiring

sage: ZZ
Integer Ring

sage: QQ['x']
Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field

Et leurs propriétés:

sage: ZZ.category()
Category of euclidean domains

sage: sorted( ZZ.category().axioms() )
['AdditiveAssociative', 'AdditiveCommutative', 'AdditiveInverse', 'AdditiveUnital',
 'Associative', 'Commutative',
 'Distributive', 'NoZeroDivisors', 'Unital']

sage: G = ZZ.category().category_graph()
sage: G.set_latex_options(format="dot2tex")
sage: view(G, viewer="pdf", tightpage=True)           # not tested

Cette modélisation permet tout d’abord de travailler naturellement et efficacement dans des constructions algébriques avancées:

sage: Z2 = GF(2); Z2
Finite Field of size 2
sage: P = Z2['x']; P
Univariate Polynomial Ring in x over Finite Field of size 2 (using NTL)
sage: M = MatrixSpace(P, 3); M
Full MatrixSpace of 3 by 3 dense matrices over Univariate Polynomial Ring in x over Finite Field of size 2 (using NTL)

sage: m = M.random_element(); m                       # random
[      x + 1         x^2         x^2]
[          x     x^2 + x       x + 1]
[    x^2 + 1 x^2 + x + 1         x^2]

sage: m.parent()
Full MatrixSpace of 3 by 3 dense matrices over Univariate Polynomial Ring in x over Finite Field of size 2 (using NTL)

sage: m * (m-1)                                       # random
[      x^4 + x^3 + x           x^3 + x^2           x^4 + x^2]
[        x^2 + x + 1         x^4 + x + 1       x^3 + x^2 + 1]
[                x^4 x^4 + x^3 + x^2 + 1             x^3 + 1]

sage: m.det()                                         # random
x^6 + x^5 + x^3 + x^2 + x + 1

sage: m.det().parent()
Univariate Polynomial Ring in x over Finite Field of size 2 (using NTL)


sage: Z2.coerce_map_from(ZZ)
Natural morphism:
  From: Integer Ring
  To:   Finite Field of size 2

sage: P.coerce_map_from(Z2)
Polynomial base injection morphism:
  From: Finite Field of size 2
  To:   Univariate Polynomial Ring in x over Finite Field of size 2 (using NTL)

sage: M.coerce_map_from(P)
Call morphism:
  From: Univariate Polynomial Ring in x over Finite Field of size 2 (using NTL)
  To:   Full MatrixSpace of 3 by 3 dense matrices over Univariate Polynomial Ring in x over Finite Field of size 2 (using NTL)

sage: M.coerce_map_from(QQ)

Example: factorisation dans les anneaux de polynômes

Cette modélisation permet aussi de traiter rigoureusement, par exemple, les questions de factorisation:

sage: p = 54*x^4+36*x^3-102*x^2-72*x-12
sage: p.factor()
6*(x^2 - 2)*(3*x + 1)^2

sage: for K in [ZZ, QQ, ComplexField(16), QQ[sqrt(2)], GF(5)]:
....:     print K, ":"; print K['x'](p).factor()
Integer Ring :
2 * 3 * (3*x + 1)^2 * (x^2 - 2)
Rational Field :
(54) * (x + 1/3)^2 * (x^2 - 2)
Complex Field with 16 bits of precision :
(54.00) * (x - 1.414) * (x + 0.3333)^2 * (x + 1.414)
Number Field in sqrt2 with defining polynomial x^2 - 2 :
(54) * (x - sqrt2) * (x + sqrt2) * (x + 1/3)^2
Finite Field of size 5 :
(4) * (x + 2)^2 * (x^2 + 3)

Exemples en Algèbre linéaire

Dans les exemples ci-dessous, nous ferons de l’algèbre linéaire sur le corps fini \(\ZZ/7\ZZ\):

sage: K = GF(7); K
Finite Field of size 7

sage: list(K)
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]

Nous avons choisi ce corps à titre d’illustration pour avoir des résultats lisibles. On aurait pu prendre des coefficients entiers, rationnels, ou numériques à plus ou moins haute précision. Les aspects numériques seront abordés plus en détail dans l’exposé suivant. Notons au passage que, même en calcul exact, il est possible de manipuler de relativement grosses matrices:

sage: M = random_matrix(K, 10000, sparse=True, density=3/10000)
sage: M.rank()                                        # random
9278

sage: M.visualize_structure('/tmp/structure.png')      # not tested
sage: os.system(sage.misc.viewer.png_viewer()+' '+'/tmp/structure.png') # not tested

Définissons donc une matrice à coefficients dans \(\ZZ/7\ZZ\):

sage: A = matrix(K, 4, [5,5,4,3,0,3,3,4,0,1,5,4,6,0,6,3]); A
[5 5 4 3]
[0 3 3 4]
[0 1 5 4]
[6 0 6 3]

Calculons le polynôme caractéristique de cette matrice:

sage: P = A.characteristic_polynomial(); P
x^4 + 5*x^3 + 6*x + 2

On vérifie le théorème de Cayley-Hamilton sur cet exemple:

sage: P(A)
[0 0 0 0]
[0 0 0 0]
[0 0 0 0]
[0 0 0 0]

Notons que l’information sur le corps de base est préservée:

sage: P.parent()
Univariate Polynomial Ring in x over Finite Field of size 7

ce qui influe directement sur la factorisation de ce polynôme:

sage: factor(P)
(x + 3) * (x + 6) * (x + 5)^2

sage: factor(x^4 + 5*x^3 + 6*x + 2)
x^4 + 5*x^3 + 6*x + 2

Le calcul ci-dessus nous donne les valeurs propres: -3=4,-6=1 et -5=2. Quels sont les espaces propres?

sage: A.eigenspaces_left()
[
(4, Vector space of degree 4 and dimension 1 over Finite Field of size 7
User basis matrix:
[1 4 6 1]),
(1, Vector space of degree 4 and dimension 1 over Finite Field of size 7
User basis matrix:
[1 3 3 4]),
(2, Vector space of degree 4 and dimension 2 over Finite Field of size 7
User basis matrix:
[1 0 2 3]
[0 1 6 0])
]

Récupérons ces espaces propres:

sage: E = dict(A.eigenspaces_left())
sage: E[2]
Vector space of degree 4 and dimension 2 over Finite Field of size 7
User basis matrix:
[1 0 2 3]
[0 1 6 0]

E[2] n’est pas une liste de vecteurs ni une matrice, mais un objet qui modélise l’espace propre \(E_2\), comme le sous-espace de \((\ZZ/7\ZZ)^4\) décrit par sa base échelon réduite. On peut donc lui poser des questions:

sage: E[2].dimension()
2
sage: E[2].basis()
[
(1, 0, 2, 3),
(0, 1, 6, 0)
]
sage: V = E[2].ambient_vector_space(); V
Vector space of dimension 4 over Finite Field of size 7

Voire faire des calculs avec:

sage: E[2] + E[4]
Vector space of degree 4 and dimension 3 over Finite Field of size 7
Basis matrix:
[1 0 0 0]
[0 1 0 5]
[0 0 1 5]

sage: v = V([1,2,0,3])
sage: v in E[2]
True

sage: E[2].echelon_coordinates(v)
[1, 2]

sage: E[2].is_subspace(E[4])
False

sage: E[2].is_subspace(V)
True

sage: Q = V/E[2]; Q
Vector space quotient V/W of dimension 2 over Finite Field of size 7 where
V: Vector space of dimension 4 over Finite Field of size 7
W: Vector space of degree 4 and dimension 2 over Finite Field of size 7
User basis matrix:
[1 0 2 3]
[0 1 6 0]
sage: Q( V([0,0,0,1]) )
(2, 4)

On veut maintenant manipuler \(A\) comme un morphisme sur \(V\):

sage: phi = End(V)(A); phi
Vector space morphism represented by the matrix:
[5 5 4 3]
[0 3 3 4]
[0 1 5 4]
[6 0 6 3]
Domain: Vector space of dimension 4 over Finite Field of size 7
Codomain: Vector space of dimension 4 over Finite Field of size 7

sage: v = V.an_element()
sage: v
(1, 0, 0, 0)

sage: phi(v)
(5, 5, 4, 3)

sage: (phi^-1)(v)
(1, 2, 3, 4)

sage: P(phi)                        # todo: not implemented
sage: phi^4 + 5*phi^3 + 6*phi + 2
Vector space morphism represented by the matrix:
[0 0 0 0]
[0 0 0 0]
[0 0 0 0]
[0 0 0 0]
Domain: Vector space of dimension 4 over Finite Field of size 7
Codomain: Vector space of dimension 4 over Finite Field of size 7

sage: (phi - 1).image()
Vector space of degree 4 and dimension 3 over Finite Field of size 7
Basis matrix:
[1 0 0 0]
[0 1 0 5]
[0 0 1 5]

sage: (phi - 1).kernel() == E[1]
True

sage: phi.restrict(E[2])
Vector space morphism represented by the matrix:
[2 0]
[0 2]
Domain: Vector space of degree 4 and dimension 2 over Finite Field of size 7
User basis matrix:
[1 0 2 3]
[0 1 6 0]
Codomain: Vector space of degree 4 and dimension 2 over Finite Field of size 7
User basis matrix:
[1 0 2 3]
[0 1 6 0]

En résumé

  • « Mathematics is the art of reducing any problem to linear algebra » William Stein
  • Il serait en principe suffisant d’implanter l’algèbre linéaire sur les matrices
  • Le pari de Sage: modéliser au plus près les mathématiques, pour que l’utilisateur ou le programmeur puisse s’exprimer dans le langage adapté au problème considéré.

Exemples en combinatoire

Selon le même principe, lorsque l’on demande toutes les partitions de l’entier 5, le résultat est un objet qui modélise cet ensemble:

sage: P = Partitions(5); P
Partitions of the integer 5

Pour obtenir la liste de ces objets, il faut le demander explicitement:

sage: P.list()
[[5], [4, 1], [3, 2], [3, 1, 1], [2, 2, 1], [2, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1, 1]]

Cela permet de manipuler formellement des grands ensembles:

sage: Partitions(100000).cardinality()
27493510569775696512677516320986352688173429315980054758203125984302147328114964173055050741660736621590157844774296248940493063070200461792764493033510116079342457190155718943509725312466108452006369558934464248716828789832182345009262853831404597021307130674510624419227311238999702284408609370935531629697851569569892196108480158600569421098519

Et de calculer paresseusement avec. Ici, on tire au hasard une main de cinq cartes à jouer:

sage: Symboles = Set(["Coeur", "Carreau", "Pique", "Trefle"])
sage: Valeurs  = Set([2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, "Valet", "Dame", "Roi", "As"])
sage: Cartes   = CartesianProduct(Valeurs, Symboles).map(tuple)
sage: Mains    = Subsets(Cartes, 5)
sage: Mains.cardinality()
2598960
sage: Mains.random_element()                           # random
{(2, 'Coeur'), (6, 'Pique'), (10, 'Carreau'), ('As', 'Pique'), ('Valet', 'Coeur')}

et là on manipule un mot infini défini comme point fixe d’un morphisme:

sage: m = WordMorphism('a->acabb,b->bcacacbb,c->baba')
sage: m.fixed_point('a')
word: acabbbabaacabbbcacacbbbcacacbbbcacacbbac...