Option Algèbre et Calcul Formel de l’Agrégation de Mathématiques: Algèbre linéaire, formes normales et applications

Mathematics is the art of reducing any problem to linear algebra - William Stein.

Todo

  • Formaliser un peu plus la forme LU
  • Formaliser la division d’un vecteur par une matrice sous forme échelon; lien avec la division Euclidienne.

Formes normales

Soit \(E\) en ensemble muni d’une relation d’équivalence \(\rho\). Une fonction \(f: E\mapsto E\) donne une forme normale pour \(\rho\) si, pour chaque classe d’équivalence \(C\), tous les élements de \(C\) sont envoyé sur le même élément \(c\) de \(C\). L’élément \(c\) est alors appelé la forme normale des éléments de \(C\).

Exemples

  • \(E=\ZZ\) muni de l’égalité modulo \(p\), \(f: x \mapsto x % p\)
  • \(E=\ZZ\times \ZZ\), \((a,b) \rho (c,d)\) si \(a/b=c/d\), \(f\):
  • ...

Quel intérêt?

Les formes normales permettent de représenter les classes d’équivalence et donc de calculer dans le quotient.

Échauffement

Exercice

Résoudre le système d’équations suivant sur \(GF(5)\):

\[\begin{split}\begin{align*} 3x_3 + x_4 + 4x_5 &= 0\\ 3x_1 + x_2 + 4x_3 + 2x_4 + x_5 &= 0\\ 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 + x_4 + 3x_5 &= 0\\ \end{align*}\end{split}\]

On donnera une paramétrisation et une base de l’ensemble des solutions.

Solution partielle:

sage: M = matrix(GF(5), [[0,0,3,1,4], [3,1,4,2,1], [4,3,2,1,3]]); M
[0 0 3 1 4]
[3 1 4 2 1]
[4 3 2 1 3]

sage: v = vector(SR.var('x1,x2,x3,x4,x5'))
sage: [(eq == 0) for eq in M*v]

sage: M.echelon_form()
[1 2 0 3 3]
[0 0 1 2 3]
[0 0 0 0 0]
sage: M.right_kernel()
Vector space of degree 5 and dimension 3 over Finite Field of size 5
Basis matrix:
[1 0 0 4 4]
[0 1 0 3 3]
[0 0 1 1 4]

Todo

  • Changer le système pour que L2 et L3 ne soient pas colinéaires
  • Donner la solution par manipulation de lignes avec Sage

Remarque Sage

Le système ci-dessus a été fabriqué avec:

sage: random_matrix(GF(5),3,5,  algorithm='echelonizable', rank=2); M  # random
[0 0 3 1 4]
[3 1 4 2 1]
[4 3 2 1 3]

L’algorithme de Gauß revisité

On se place dans un corps \(K\) quelconque

Forme échelon (réduite)

Définition

Une matrice est sous forme échelon (en lignes) si le nombre de zéros précédant la première valeur non nulle d’une ligne augmente ligne par ligne jusqu’à ce qu’il ne reste plus que des zéros:

\[\begin{split}\begin{pmatrix} \underline{*} & * & * & * & * & * & * & * & * \\ 0 & 0 & \underline{*} & * & * & * & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & \underline{*} & * & * & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \underline{*} & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \underline{*} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\end{split}\]

Les colonnes caractéristiques sont les colonnes contenant les pivots (soulignés ci-dessus), c’est-à-dire les premiers coefficients non nul d’une ligne.

Une matrice est sous forme échelon réduite si les pivots valent 1 et si les autres coefficients dans les colonnes des pivots sont nuls:

\[\begin{split}\begin{pmatrix} 1 & * & 0 & 0 & * & * & 0 & * & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & * & * & 0 & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & * & * & 0 & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\end{split}\]

Exemple

sage: M = random_matrix(QQ, 4, 8, algorithm='echelon_form', num_pivots=3); M # random
[ 1 -3  0 -2  0  3  1  0]
[ 0  0  1 -5  0 -2 -1 -1]
[ 0  0  0  0  1 -1  3  1]
[ 0  0  0  0  0  0  0  0]
sage: M.pivots()                                                             # random
(0, 2, 4)

Remarque

L’algorithme du pivot de Gauß-Jordan transforme une matrice jusqu’à ce qu’elle soit sous forme échelon (réduite).

Forme échelon et matrices équivalentes

Exercice: matrices à deux lignes

Pour chacunes des matrices suivantes, écrire sous forme de multiplication à gauche par une matrice \(P\) \(2\times 2\) la première étape du pivot de Gauß:

sage: var('a1,b1,c1,a2,b2,c2')
sage: M1 = matrix([[a1,b1,c1],[0,b2,c2]]); M1

sage: M2 = matrix([[0,b1,c1],[1,b2,c2]]); M2

sage: M3 = matrix([[a1,b1,c1],[a2,b2,c2]]); M3

Todo

Préciser dans le texte l’opération sur les lignes voulue pour chacun des cas

Solutions:

sage: P = matrix([[1/a1,0],[0,1]]);   P, P*M1

sage: P = matrix([[0,1],[1,0]]);      P, P*M2

sage: P = matrix([[1,0],[-a2/a1,1]]); P, P*M3

Remarques

  • Les opérations sur les lignes peuvent être implantées par multiplication à gauche par des matrices inversibles.
  • Si \(M\) est obtenue de \(N\) par l’algorithme du pivot de Gauß, alors \(M=PN\)\(P\) est une matrice inversible, éventuellement de déterminant \(1\) (le produit des matrices ci-dessus).
  • S’il n’y a pas de permutation à effectuer, alors on peut écrire \(N\) sous la forme \(N=LU\), où \(U=N\) et triangulaire supérieure (upper triangular), et \(L\) est triangulaire inférieure (lower triangular): le produit des inverses des matrices ci-dessus. On appelle cela la décomposition `LU`.

Exercice

Déterminer la décomposition \(M=LU\) de notre matrice favorite.

Solution:

sage: M = M.LU()

Disons ici que deux matrices \(M\) et \(M'\) de \(M_{n,m}(K)\) sont équivalentes (modulo l’action de \(GL_n(K)\) à gauche) s’il existe une matrice inversible \(P\) telle que \(M=PM'\).

Exercice:

Vérifier que cela définit une relation d’équivalence!

Question

La remarque précédente dit que si deux matrices \(M\) et \(M'\) donnent la même forme échelon réduite par Gauß, alors elles sont équivalentes.

Réciproque?

Démonstration de la réciproque

Soient \(M\) et \(M'\) deux matrices équivalentes, et \(N\) et \(N'\) leurs formes échelons réduites. On veut montrer que \(N=N'\).

On note que \(N\) et \(N'\) sont équivalentes: on peut prendre \(P\) telle que \(N=PN'\).

Remarque: notons \(N_k\) la sous-matrice composée des \(k\) premières colonnes de \(N\) et de même pour \(N'\); elles sont encore sous forme échelon. Comme \(P\) est inversible, elles sont de même rang, et donc ont le même nombre de lignes non nulles.

Conclusion: les colonnes caractéristiques de \(N\) et \(N'\) coïncident.

En regardant ce qui se passe au niveau des pivots, on déduit que les \(rang(N')\) premières colonnes de \(P\) sont celles de l’identité. Il s’ensuit que \(N=N'\).

Théorème

On considère les matrices \(n\times m\) à coefficients dans un corps \(K\). La forme échelon réduite donne une forme normale pour les matrices modulo l’action de \(GL_n(K)\) à gauche.

Corollaire

Il y a une certaine liberté dans l’ordre d’exécution des opérations du pivot de Gauß. Le théorème précédent garanti que le résultat final ne dépend pas de l’ordre des calculs.

Interprétation géométrique

Reprenons notre matrice:

sage: M = matrix(GF(5), [[0,0,3,1,4], [3,1,4,2,1], [4,3,2,1,3]]); M

et sa forme échelon:

sage: M.echelon_form()

Pour le moment, cette forme échelon est décrite comme le résultat d’un calcul: l’application du pivot de Gauß. C’est opératoire, mais pas très conceptuel.

Peut-on faire mieux?

Sous espaces vectoriels et formes échelon

Exercice

Soient \(M\) et \(M'\) deux matrices de \(M_{n,m}(K)\), que l’on voit comme deux paquets de \(n\) vecteurs de \(K^m\). Montrer que \(M\) et \(M'\) sont équivalentes (modulo l’action de \(GL_n(K)\) à gauche) si et seulement si les vecteurs engendrent le même sous-espace vectoriel de \(K^m\).

Solution

Si les matrices sont équivalentes, la multiplication à gauche par la matrice inversible permet d’exprimer les vecteurs de l’une en fonction de l’autre, et réciproquement. Ils engendrent donc le même sous-espace vectoriel.

Réciproquement, supposons que les vecteurs engendrent le même espace vectoriel \(F\). S’ils forment une base, il suffit de prendre la matrice \(P\) qui exprime la première base en fonction de la deuxième (\(P\) est inversible!), de sorte que \(M=PM'\). Sinon on remplace \(M\) et \(M'\) par leurs formes échelon (qui leurs sont équivalentes); et on prend la matrice \(P\) pour les lignes non nulles (qui forment une base), et on la complète par l’identité pour les lignes nulles.

Corollaire

L’ensemble quotient \(GL_n(K) \backslash M_{n,m}(K)\) représente l’ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension au plus \(n\) dans \(K^m\). Cet ensemble est naturellement muni d’une structure de variété appelée variété Grassmanienne.

Corollaire

La forme échelon réduite donne une forme normale pour les sous-espaces vectoriels!

Exercice

Compter le nombre de sous espaces vectoriels de rang \(2\) d’un espace de dimension \(4\) sur \(GL(5)\).

Exercice

  • Compter le nombre de points, droites, plans et hyperplans dans \(GF(q)^3\) en fonction de leur rang.
  • On se place maintenant dans \(\RR^3\). Décrire géométriquement, en fonction de leur forme échelon, comment ces sous espaces vectoriels se positionnent dans l’espace.

Todo

Solutions

Drapeaux

Exercice

Soit \((e_1,\dots, e_5)\) la base canonique de \(K^5\), et soit \(E\) le sous espace vectoriel de \(K^5\) engendré par les lignes de notre matrice favorite \(M\):

sage: M

Pour \(i\) de \(1\) à \(5\), calculer la dimension de l’espace vectoriel

\[E_i = E \cap \langle e_i,\ldots,e_5\rangle\]

Puis décrire les quotients successifs \(E_i / E_{i+1}\).

Digression: lien avec les groupes de permutations

Pour manipuler un sous-groupe \(G\) du groupe symétrique \(S_n\), on avait considéré le sous-groupe \(G_{n-1}\) des éléments fixant \(n\), puis ceux fixant \(n\) et \(n-1\), et ainsi de suite récursivement.

Formellement, on avait considéré la suite des groupes symétriques emboîtés:

\[\{id\} = S_0\subsetneq S_1 \subsetneq \cdots \subsetneq S_n\]

et la suite induite des groupes emboîtés \(G_i:=G \cap S_i\):

\[\{id\} = G_0\subset G_1 \subset \cdots \subset G_n=G\]

L’étude de \(G\) se ramenait alors à l’étude des quotients successifs \(G_i/G_{i-1}\).

Appliquons le même programme.

Définition: Drapeau

Un drapeau complet d’un espace vectoriel \(V\) de dimension \(n\) est une suite maximale de sous-espaces strictement emboîtés:

\[\{0\} = V_0 \subsetneq V_1 \subsetneq \cdots \subsetneq V_n=V\]

Définition: Drapeau canonique

À chaque base ordonnée, on peut associer naturellement un drapeau complet. Ici on considérera principalement le drapeau canonique associé à la base canonique \(e_1,\cdots,e_m\) de \(V=K^m\):

\[V_i:=\langle e_{m-i+1}, \ldots, e_m \rangle\]

Note: on prend les éléments dans cet ordre pour que cela colle avec nos petites habitudes de calcul du pivot de Gauß. Et pour alléger les notations, on utilisera plutôt:

\[\overline V_i:=\langle e_i, \ldots, e_m \rangle=V_{n-i+1}\]

Formes échelon et bases adaptées

Dans ce formalisme, qu’est-ce qu’une matrice sous forme échelon?

C’est une base \(B\) d’un espace vectoriel \(E\) adaptée à un drapeau complet donné. C’est-à-dire une base sur laquelle on peut lire immédiatement les sous espaces \(E_i:=E\cap \overline V_i\):

\[\langle B \cap E_i\rangle = E_i\]

Le pivot de Gauß est un algorithme de calcul de base adaptée.

Définition intrinsèque des colonnes caractéristiques

Remarque: en passant de \(E_{i+1}\) à \(E_i\), la dimension croît de \(0\) ou de \(1\).

Cela permet de donner une définition intrinsèque de la notion de colonnes caractéristiques d’un sous espace vectoriel \(E\): les \(i\) tels que la dimension de \(E_i\) croît strictement. Cela décrit la position de \(E\) par rapport à un drapeau complet fixé.

Évidemment, sur une forme échelon pour \(E\), cela correspond aux colonnes \(i\) pour lesquelles on a un vecteur de la forme \(e_i+\cdots\).

Formes échelon réduites

Considérons deux bases adaptées d’un même espace vectoriel \(E\). Pour \(i\) une colonne caractéristique, on note \(a_i\) et \(b_i\) les vecteurs de la forme \(a_i=e_i+\cdots\) et \(b_i=e_i+\cdots\).

Alors \(a_i-b_i\in V_{i+1}\); autrement dit \(a_i=b_i\) dans le quotient \(E_i/E_{i+1}\).

Prendre une forme échelon réduite, c’est faire un choix d’un représentant (relativement canonique) \(a_i\) dans chaque quotient \(E_i/E_{i+1}\): celui qui a des zéros aux autres colonnes caractéristiques.

Ce formalisme montre que le vecteur \(a_i\) est intrinsèque à \(E\) (et au choix du drapeau complet). En particulier il est clair qu’il est complètement indépendant des autres coefficients de la forme échelon réduite, même si opératoirement le calcul de \(a_i\) par Gauß passe par ceux-ci.

Remarque

La permutation \(P\) apparaissant dans le calcul de l’algorithme de Gauß a une interprétation géométrique naturelle (position du drapeau \(\langle v_1\rangle, \langle v_1,v_2\rangle\) par rapport au drapeau canonique).

Les variétés Grassmaniennes et ses variantes (variétés de drapeaux, ...) et leur multiples généralisations sont l’objet d’études approfondies en géométrie. La combinatoire y joue un rôle important: l’apparition d’une permutation \(P\) dans le pivot de Gauß est le prototype du type de lien.

Todo

Faire un résumé ici

Todo

vérifier / homogénéiser les notations

Applications des formes échelon

Exercice: résolution d’équations linéaires

Soit \(E\) un ensemble d’équations linéaires/affines. Retrouver les algorithmes usuels de résolution: existence de solution, dimension, base et paramétrisation de l’espace des solutions.

Exercice: calcul avec les sous espaces vectoriels

On considère des sous espaces \(E\), \(F\), ... de \(V=K^n\) donnés par des générateurs ou des équations. Donner des algorithmes (et leur complexité!) pour:

  1. Déterminer une base de \(E\).
  2. Tester si un vecteur appartient à \(E\).
  3. Tester si \(E=F\).
  4. Tester si deux vecteurs \(x\) et \(y\) de \(V\) sont égaux modulo \(E\).
  5. Calculer l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel.
  6. Calculer la somme \(E+F\) et l’intersection \(E\cap F\) de deux espaces vectoriels.
  7. Calculer la sous-algèbre de \(V\) engendrée par \(E\) (en supposant \(V\) muni d’une structure d’algèbre \((V,+,.,*)\)).
  8. Plus généralement: clôture de \(E\) sous des opérations linéaires.
  9. Calculer dans l’espace quotient \(E/F\).
  10. Cas de la dimension infinie?

Exercice: calcul avec les morphismes

Soit \(\phi\) une application linéaire entre deux espaces vectoriels \(E\) et \(F\) de dimension finie. Donner des algorithmes pour:

  1. Calculer le noyau de \(\phi\).
  2. Calculer l’image de \(\phi\).
  3. Calculer l’image réciproque par \(\phi\) d’un vecteur \(f\) de \(F\).
  4. Arithmétique: composition, combinaison linéaires, inverse.
  5. Calculer le polynôme caractéristique.
  6. Calculer les valeurs propres de \(\phi\).
  7. Calculer les espaces propres de \(\phi\).

Todo

Décomposition LU, exercice en TD ou TP

Résumé

La forme échelon d’une matrice joue un rôle central en algèbre linéaire car:

  • Il existe des algorithmes relativement peu coûteux pour la calculer (par exemple Gauß: \(O(n^3)\)).
  • La plupart des problèmes en algèbre linéaire sur un corps se traitent aisément sur cette forme échelon.
  • La forme échelon a un sens algébrique: c’est une forme normale pour la relation d’équivalence induite par l’action à gauche du groupe linéaire.
  • La forme échelon a un sens géométrique: c’est une forme normale pour un sous-espace vectoriel; elle décrit sa position par rapport au drapeau canonique.

Nous verrons d’autres formes normales pour d’autres classes d’équivalences de matrices.

TP

Exercice 1: Du calcul matriciel au calcul sur les sous espaces vectoriels

Calcul d’une base d’un sous espace vectoriel donné par des générateurs

Soit \(V\) une liste de vecteurs dans \(E=\QQ^{10}\), comme par exemple:

sage: V = random_matrix(QQ, 4, 10, algorithm='echelonizable', rank=3).rows() # random
sage: V
[(1, 4, -5, 3, -19, 2, -56, -19, -5, -43),
 (4, 16, -20, -11, 75, 8, 229, 52, 26, 153),
 (5, 20, -25, -19, 121, 10, 368, 87, 43, 251),
 (0, 0, 0, -2, 13, 0, 39, 11, 4, 28)]

On veut calculer une base du sous-espace vectoriel engendré par \(V\). On peut l’obtenir simplement avec les outils déjà présents:

sage: E = QQ^10
sage: E.span(V)
Vector space of degree 10 and dimension 3 over Rational Field
Basis matrix:
[ 1  4 -5  0  0  2  1 -3  1 -2]
[ 0  0  0  1  0  0  0  1 -2 -1]
[ 0  0  0  0  1  0  3  1  0  2]

Implanter votre propre fonction baseSEV(V) qui calcule une telle base en se ramenant à du calcul matriciel.

Indications:

  • Vous pouvez au choix réutiliser la méthode echelon_form des matrices ou la réimplanter.

  • Essayez les commandes suivantes:

    sage: M = matrix(V)
    sage: list(M)
    sage: M[1].is_zero()
    sage: l = [ 1, 5, 3, 2, 9 ]
    sage: [ x^2 for x in l ]
    

Test d’appartenance d’un vecteur à un sous-espace vectoriel

Soit \(V\) une liste de vecteurs et \(u\) un autre vecteur. On veut tester si \(u\) est dans le sous espace vectoriel engendré par \(V\):

sage: u = E([1, 2, 5, 3, 0, 1, 6, 3, 0, 5])
sage: u in V
False

Comme ci-dessus, implanter votre propre fonction appartient(V,v) qui se ramène à du calcul matriciel.

Test d’égalité de deux espaces vectoriels

Implanter votre propre fonction SEV_egaux(U, V) qui teste si deux listes deux vecteurs engendrent le même sous espace vectoriel.

Calcul de l’orthogonal d’un sous espace vectoriel

Implanter votre propre fonction SEV_orthogonal(V) pour calculer une base de l’orthogonal de \(\langle V\rangle\), c’est-à-dire l’ensemble des vecteurs \(u\) du dual de \(E\) tel que \(\langle u,v\rangle=0\).

Quel rapport avec la résolution d’équations?

Calcul de la somme et l’intersection de deux sous espace vectoriels

Implanter votre propre fonction SEV_somme(U, V) qui calcule une base de la somme des deux sous-espaces vectoriels \(\langle U\rangle\) et \(\langle V\rangle\).

De même implanter SEV_intersection(U,V) et SEV_en_somme_directe(U,V).

Exercice 2: Algèbre linéaire, représentations des monoïdes et Chaînes de Markov

Voir: La bibliothèque de Tsetlin

Ce texte est à approcher comme les textes de l’agrégation: il s’agit d’un menu à la carte; vous pouvez choisir d’étudier certains points, pas tous, pas nécessairement dans l’ordre, et de façon plus ou moins fouillée. Vous pouvez aussi vous poser d’autres questions que celles indiquées plus bas. L’objectif final est de concevoir un mini-développement de 5 minutes comportant une partie traitée sur ordinateur et, si possible, des représentations graphiques de vos résultats.

Quelques références

[Storjohan.2004]Algorithms for Matrix Canonical Forms, Arne Storjohan, PhD Thesis, Department of Computer Science, Swiss Federal Institute of Technology – ETH, 2000