This document is one of More SageMath Tutorials. You may edit it on github. \(\def\NN{\mathbb{N}}\) \(\def\ZZ{\mathbb{Z}}\) \(\def\QQ{\mathbb{Q}}\) \(\def\RR{\mathbb{R}}\) \(\def\CC{\mathbb{C}}\)
Calcul Formel: Qu’est-ce?¶
Premiers calculs avec Sage:
sage: 1 + 1
2
sage: ( 1 + 2 * (3 + 5) ) * 2
34
sage: 2^3
8
sage: 2**3
8
Calcul exact (par opposition à calcul numérique):¶
sage: 20/6
10/3
sage: 2^10
1024
sage: 2^100
1267650600228229401496703205376
sage: 2^1000
10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437\
50388370351051124936122493198378815695858127594672917553146\
82518714528569231404359845775746985748039345677748242309854\
21074605062371141877954182153046474983581941267398767559165\
54394607706291457119647768654216766042983165262438683720566\
8069376
sage: 20.0 / 14
1.42857142857143
sage: numerical_approx(20/14)
1.42857142857143
sage: numerical_approx(2^1000)
1.071508607186267e301
sage: numerical_approx(20/14, digits=60)
1.42857142857142857142857142857142857142857142857142857142857
Premier exemple d’instabilité numérique:
sage: (1 + 10^50) - 10^50
1
sage: (1.0 + 10^50) - 10^50
0.000000000000000
En exigeant suffisamment de précision:
sage: a = numerical_approx(1, digits=49)
sage: (x+10^50)-10^50
1.000000000000000000000000000000000000000000000000
sage: a = numerical_approx(1, digits=48)
sage: (x+10^50)-10^50
0.000000000000000000000000000000000000000000000000
Quelques exemples supplémentaires:
sage: factorial(100)
93326215443944152681699238856266700490715968264381621\
46859296389521759999322991560894146397615651828625369\
7920827223758251185210916864000000000000000000000000
sage: factor(2^(2^5)+1)
641 * 6700417
Calcul formel avec des fonctions et constantes usuelles:
sage: arccos(sin(pi/3))
arccos(1/2*sqrt(3))
sage: sqrt(2)
sqrt(2)
sage: exp(I*pi/6)
e^(1/6*I*pi)
sage: simplify(arccos(sin(pi/3)))
1/6*pi
sage: simplify(exp(i*pi/6))
1/2*sqrt(3) + 1/2*I
sage: numerical_approx( 6*arccos( sin(pi/3)), digits=60 )
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494
sage: numerical_approx( sqrt(2), digits=60 )
1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317668
Calcul algébrique (Computer Algebra):¶
Résidus modulo, corps finis¶
Calcul modulo \(4\):
sage: m = 7 % 4; m
3
sage: 3 * m + 1
10
Et si l’on veut faire tout les calculs suivants modulo \(4\):
sage: Z4 = IntegerModRing(4); Z4
Ring of integers modulo 4
sage: m = Z4(7); m
3
Par la suite, tous les calculs faisant intervenir m sont fait
modulo \(4\). Ainsi, dans l’exemple suivants, \(3\) et \(1\) sont
automatiquement convertis dans \(\ZZ/n\ZZ\):
sage: 3 * m + 1
2
Corps finis:
sage: Z3 = GF(3); Z3
Finite Field of size 3
Matrices¶
sage: a = matrix(QQ, [[1,2,3],[2,4,8],[3,9,27]])
sage: (a^2 + 1) * a^(-1)
[ -5 13/2 7/3]
[ 7 1 25/3]
[ 2 19/2 27]
Polynômes, fractions rationnelles¶
sage: P = QQ['x']; P
Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field
sage: F = P.fraction_field(); F
Fraction Field of Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field
sage: p = P(x+1) * P(x); p
x^2 + x
sage: p + 1/p
(x^4 + 2*x^3 + x^2 + 1)/(x^2 + x)
sage: parent(p + 1/p)
Fraction Field of Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field
Nombres algébriques¶
sage: k.<a> = NumberField(x^3 + x + 1)
sage: a^3
-a - 1
sage: a^4+3*a
-a^2 + 2*a
Résumé¶
Calcul formel =
- Arithmétique (nombres, …)
- Calcul algébrique (matrices, polynômes, séries, groupes)
- Calcul symbolique (intégration, …)
Calcul mathématique (computational mathematics) =
- Calcul formel
- Combinatoire, graphes
- Calcul numérique
- Recherche opérationnelle
- …
L’option Algèbre et Calcul Formel¶
Grands thèmes¶
- Arithmétique
- Algèbre linéaire
- Factorisation
- Polynômes et systèmes polynomiaux
- Groupes, combinatoire, …
- En filigrane: algorithmique et complexité
Applications¶
- Cryptographie
- Codage
- Solveurs exacts (linéaire, …) pour les sciences de l’ingénieur
- Robotique
Idées centrales¶
- Diviser pour mieux régner
- Élimination (Gauß, Euclide, Gröbner, SGS)
- Évaluation (Fourier)
- Changements de représentation